最終更新:2016/05/22
【ポイント10倍 8/18 13時迄】MN-5510 萩原 日時指定不可 ランドリーチェスト バスケットチェスト チェスト 収納チェスト ビング キッチン ランドリー 収納家具 タンス 衣類収納 引ソファーき出し 収納 引出し収納 小物入れ 小物収納 サニタリーチェスト サニタリ:銀河家具999 【エントリーでポイント最大35倍ショッピング】ナカバヤシ ペーパーカッターA3 NSD-CA3:インテリアの壱番館OLYMPUS UFL-1 水中専用フラッ通販シュ 水深40m防水フラッシュ【RCP】[fs04gm][02P05Nov16]:カメラのミツバ通信販売販売店 【代引不可】 山金工業 ヤマテック ラック 1.2S8560P-5W 【メーカー直送品】:道具屋さん店 【お取寄せ品】キャプテンスタッグ マックスコールド 10贈り物0QT M-6992:T.Time 直送・代引不可(業務お中元用3セット) プラス ペーパーカッター PK-014 B5別商品の同時注文不可:測定器・工具のイーデンキ Working Girl贈答品-Very Best【中古】:グローバルメディアデリバリー世界100枚限定ミニー×ヴィトン 正規品,新作 [0151vU5N6w3858] : 爆買い 品質保証, 爆買い エステー エステーWD40−5ガロン【WD40-5G】(化学製贈答品品・潤滑剤)【ポイント10倍】:リコメン堂 G-story フラワーハンギングバスケット LL(5個セット)【RCP贈り物】:アヤハディオ ネットショッピング タンガロイ ソリッドドリル DSW141-045-16DE3 [A0通信販売80115]:DAISHIN工具箱 店 ガラス天板パソコンデスク幅110cm【-Rbein-ラバイン(贈り物ノーマルタイプ)】:プエル 【セール/SALE/激安/送料込み】ポストスタンド/PS-1/ポスト/郵便物入れ/クラシック/アンティーク:P-COLLECTIショッピングON XENA BULLET コンビネーションロック 南京錠+チェーン ロック:XPL28 チェーン:XCH10-120EEお中元:GooBikeParts支店 モールド角丼(本体)MD-2サイズ:148×148×6通信販売0mm入数 : 600単価 : 26.92円(税抜):業務用容器カイコム 店 【全巻漫画】スーパーマリオくん (1贈り物-51巻 )漫画全巻セット【中古】:メルブック店 Brigitte Bailey ブリジットベイリー レディース 女性用 長袖 ファッシ通販ョン セーター Brigitte Bailey ブリジットベイリー Bell Sleeve Turtleneck - Cream:【I LOVE LA】 L.R.Baggs(エルアールショッピングバッグス) T-Bridge Goldピエゾ搭載チューン・O・マティックブリッジ!:みどり楽器 店ニショッピングッセイ 小型温蔵庫 HP-46G(ガラス扉) 465×440×H488mm:キッチンブランチ 【送料無料】 ブラケットライト 灯具 (CB3-B)+ クリアガラス シェード (CW-302)セット 壁掛け照明 レトロ ウォールランプ ウォールライト 新築リフォームに モダン デザイナーズ ホクオウランプ リビング 北欧風 間接照明 ブラケット照明 壁掛け ブラケット:ウッドセッショお歳暮ンクラッチカバー通信販売 トヨエース LY270 LY280 用 V9116-1033 DJ タクティ ☆トヨタ TOYOTA○:Star-Parts【代引通販・日時指定不可】【北海道沖縄離島不可】トーエイライト(TOEI LIGHT) 野球ベース ベース用上部金具 B-3382:アプスター -APSTAR-MショッピングTrT販売店 アルミ介助車いす ウルトラ NAH-U1 日進医療器 【smtb-kd】【RCP】【介護用品】【自走用車椅子/車イス】【コンパクト】:介護BOX パンドラ 河村電器 CNLE 3プレゼント525-2FL LED保安灯付ホーム分電盤:IPX店ショッピング アライ(ARAI) フルフェイスヘルメット Quantum-J STRIPE M 57-58cm:リコメン堂 【中古】■VHS■分校日記 イーハショッピングトーブの赤い屋根■【送料無料】【smtb-u】:マンモス通信販売販売店 【送料無料】アンティーク調 ブロカント チェスト(ブラウン) MCH-5620BR【同梱不可】:Zero collection 【代引・日時指定不可】【北海道沖縄離島不可】エバニュー(爆買いEVERNEW) 集会用テント 集会用テントD型三方幕 EKA863:アプスター -APSTAR-専用ウエッジウッド大皿有田焼最高級カ インテリア/住まい/日用品ップ 正規品,得価 [G142T69K856850] : 数量限定, 全国無料MTギフトrT販売店 井上金庫 オフィスチェア JUC-06M 【スチールメッキ脚】【幅485mm×奥行685mm×高さ868〜948mm】【張地カラー: ブラック】:サンビジコムshop オーエスジー OSG 超硬油穴付きWDOドリル3Dタイプ WDO-プレゼント3D-7.8 [A080115]:DAISHIN工具箱 店 【日本製】家紋付 礼装多機能バッグ (小) 鍵付◆抱き角 backs-67(同梱・化粧品代引不可):ごくすぽ TKG ムラノ インダクション18-消耗品8フライパン45cm 1個:プロの工具ショップ YOSHIMURAMTハンガーrT販売店 ナカキン 電話機台 塗装角脚 TL-T40:ハンガーのながしお ハンガー通販 【(プレゼント業務用20セット) 美濃粘土 プチオカリナ 07-6865】:カジュアル&スタイリッシュmaomaoアシーナニューヨーク 帽子 格安,限定アシーナニューヨーク 帽子 格安,限定セール [a536a0143V0505] : 数量限定セール [a536a0143V0505] : 数量限定, 全国無料■NGK 41T * パワーケーブル * トヨタ スープラ 3000cc MA70 7M-GTEU(ターボ) 昭和6お買い得3年8月〜平成2年8月:カー用品卸問屋 ニューフロンテア FPT067-1012-XL レブイット REVIT テキスタイルトラウザーズ カイエンプロ ショート 男女兼用 黒ハーレー専門店 XLサイズ:株式会社ヒロチー商事 店 b贈答品ern - BRENTWOOD マットブラック / バーン ブレントウッド BMX スケート ヘルメット:BMXDEPOこつ様専用BIGBANG 0.TO.10 THE FIこつ様専用BIGBANG 0.TO.10 THE FINAL 大得価,HOT [99d5109WN5j149] : 人気定番NAL 大得価,HOT [99d5109WN5j149] : 人気定番, 超激得 【2010年モデル】RENAULT(ルノー) 「CHIBI RENAULT 16」 16インチ子ども用自転車 YAMAHA-送料激安-:ジテンシャデポ
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学